被扶養者である家族が医療機関等にかかっているとき、被保険者が事故で死亡してしまいました。家族はそのまま健康保険にかかれるのでしょうか？

健康保険の給付は、受診日当日に保険資格があるかどうかとなります。被保険者が死亡した場合、その翌日から保険資格を失うことになりますので、健康保険は使用できません。